Los Números Reales

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Los Números Reales

Written by Gladys Gahona

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¿Qué son los Números Reales?

Los números reales son aquellos que nos sirven para hacer cálculos. El conjunto de los números reales está compuesto por los siguientes conjuntos numéricos.

Números Naturales

Los números naturales son simplemente aquéllos que sirven para contar, ellos son:

$N=\mathcal{f}1,2,3,4,5,...\mathcal{g}$

Los tres puntos suspensivos adentro de las llaves, quieren decir que el patrón establecido en el conjunto numérico continúa indefinidamente.

Ejemplo

Identifica de la siguiente lista cuales son números naturales y cuales no.

a) $8$

b) $15$

c) $\frac{1}{2}$

d) $0$

e) $10,000$

Soluciones:

a) $8$ es un número natural puesto que se usa para contar.

b) $15$ es un número natural puesto que se usa para contar.

c) $\frac{1}{2}$ no es un número natural puesto que no se usa para contar.

d) $0$ no nos sirve para contar, por tanto no es un número natural.

e) $10,000$ puede ser un número muy grande, pero sirve para contar, por tanto es un número natural.

Números Cardinales

Los números cardinales están comprendidos por el conjunto de los números naturales y el cero.

$N_0=\mathcal{f}0,1,2,3,4,5,...\mathcal{g}$

Puesto que todos los números naturales están contenidos en los números cardinales, podemos decir que cada número natural es también un número cardinal. En lenguaje matemático de la teoría de conjuntos, se puede decir que el conjunto de los números naturales con un subconjunto de los números cardinales.

Ejemplo

Identifica de la siguiente lista cuales son números cardinales y cuales no.

a) $8$

b) $-15$

c) $\frac{1}{2}$

d) $0$

e) $10,000$

Soluciones:

a) $8$ es un número cardinal.

b) $-15$ no es un número cardinal.

c) $\frac{1}{2}$ no es un número cardinal.

d) $0$ es un número cardinal.

e) $10,000$ es un número cardinal.

Números Enteros

Los números enteros constan de los números cardinales y los opuestos o negativos de los números naturales.

$Z=\mathcal{f}.., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...\mathcal{g}$

Puesto que cada número cardinal es un número entero, podemos decir que los números cardinales son un subconjunto de los números enteros. Y también, los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

De los tres conjuntos definidos hasta ahora, podemos pensar que conforme avanzamos, obtenemos conjuntos numéricos cada vez mas grandes.

Números Racionales

Los números racionales son aquellos que pueden ser escritos como una razón o cociente entre dos números enteros. En otras palabras, los números racionales se pueden escribir en la forma:

$\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros y $b\neq 0$

También reciben el nombre de fracciones. Existen diferentes tipos de fracciones:

Tipo de fracción	Definición	Ejemplo
Decimales	Su denominador es la unidad seguida de ceros	$\frac{1}{100}$
Comunes	Su denominador no es la unidad seguida de ceros	$\frac{3}{5}$
Propias	Su numerador es menor que el denominador	$\frac{3}{5}$
Impropias	Su numerador es mayor que el denominador	$\frac{5}{3}$
Mixtas	Tienen un componente entero y uno fraccionario	$5 \frac{5}{3}$
Unitarias	Su numerador y denominador son iguales y por tanto la fracción es igual a la unidad	$\frac{5}{5}$

Por ejemplo:

El número mixto $3 \frac{1}{2}$ es un número racional porque puede ser escrito como $\frac{7}{2}$
El número entero $8$ es también un número racional porque puede ser escrito como $\frac{8}{1}$
$-0.658$ es un número racional porque puede ser escrito como la fracción decimal $\frac{-658}{1000}$
El $0$ es un número racional porque puede ser escrito como $\frac{0}{1}$
$\sqrt{1}$ es un número racional porque puede ser escrito como $\frac{1}{1}$

Números Irracionales

Todos los números reales que no pueden ser escritos como el cociente de dos enteros, son llamados números irracionales.

Por ejemplo:

$\sqrt{2}$ es un número irracional. Una aproximación en forma decimal es: $1.4142135623730950...(etc)$ , pero no existe una fracción que sea equivalente a raíz cuadrada de dos.
$\pi$ es un número irracional. Una aproximación en forma decimal es: $3.1415926535897932384626433832795...(etc)$ , pero no existe un cociente de dos números enteros que sea equivalente a pi
El número de Euler $e$ es un número irracional. Una aproximación en forma decimal es: $2.7182818284590452353602874713527...(etc)$ , pero no existe un cociente de dos números enteros que sea equivalente a $e$

Números Reales

En resumen, podemos decir que los números reales son la union de los conjuntos de los números racionales mas los números irracionales, es decir, todos los números racionales son reales, de igual forma, todos los números irracionales son reales: