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Propiedades de los numeros reales

Written by  Gladys Gahona
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Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean a,b,c \in \mathbb {R}, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad

Adición

Multiplicación

Cerradura

a+b \in \mathbb {R} a \cdot b \in \mathbb {R}

Conmutativa

 a+b=b+a

 a \cdot b=b \cdot a

Asociativa

  a+(b+c)=(a+b)+c

 a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c

Distributiva

 a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)
 

Identidad

  a+0=a

 a \cdot 1=a

Inverso

 a+(-a)=0

 a \cdot \left ( \frac{1}{a} \right )=1

 

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2+7=9, \; \;  9 \in \mathbb {R}

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2 \cdot 7=14, \; \;  14 \in \mathbb {R}

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2-7=-5, \; \;  -5 \in \mathbb {R}

 

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

6+7=7+6=13

6 \cdot 7=7 \cdot 6=42

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

6-7  \neq 7-6

\frac {6}{7}  \neq \frac {7}{6}

 

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

3+(4+5)=(3+4)+5=12

3 \cdot (4 \cdot 5)=(3 \cdot 4) \cdot 5=60

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

3-(4-5) \neq (3-4)-5

3 \div (4 \div 5) \neq (3 \div 4) \div 5

 

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.

3 \cdot (4+5)=(3 \cdot 4) + (3 \cdot 5)=27

 

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

25+0=25, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

25 \cdot 1=25, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

 

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

28+(-28)=0   el inverso aditivo para esta suma es el número -28

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

28 \cdot \left ( \frac{1}{28} \right )=1,   el inverso multiplicativo para esta multiplicación es \frac{1}{28}

 

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